Discipline fondamentale

Mathématiques

Objectifs généraux

L’enseignement des mathématiques est une composante importante dans la formation d’un futur bachelier ; son rôle est double.

Aspect formatif

C’est certainement le rôle le plus important. Rigueur, soin, précision dans le langage et le formalisme, esprit de déduction, capacité d’abstraction et intérêt pour la généralisation de propriétés, telles sont des qualités qu’un enseignement judicieux des mathématiques contribue à développer chez l’élève.

L’aspect déductif est important ; toutefois, pour des raisons pédagogiques, il est impossible de présenter tous les chapitres comme un édifice complet avec, à la base, un système d’axiomes, puis un ensemble de théorèmes.

Aspect utilitaire

Avec les connaissances et les méthodes de travail acquises au cours de cette formation, le futur étudiant doit être capable de suivre sans difficultés particulières n’importe quelle faculté universitaire.

Le programme de niveau II est particulièrement recommandé aux élèves qui envisagent des études scientifiques. En effet, les élèves ont l’occasion d’améliorer leur habilité en techniques de calcul et d’y aborder des chapitres supplémentaires nécessaires pour entreprendre certaines études scientifiques.

Considérations et explications

Méthode de travail

On fera appel à une certaine part d’intuition et d’expérimentation, tout en glissant de nombreuses petites démonstrations dans le développement des différents chapitres.

Au fur et à mesure de l’avancement dans le cycle d’étude, la part de la rigueur et de l’aspect déductif deviendra plus importante.

Le sens de mots tels que définition, propriétés, hypothèse, conclusion, théorème, etc, devra être assimilé.

Les exercices et problèmes devront développer, outre l’aspect technique, l’imagination et la curiosité ; ils devront faire ressentir la nécessité de démonstrations.

Il est souhaitable, particulièrement au niveau II, que les élèves soient confrontés à des problèmes nécessitant une certaine recherche et susceptibles de développements et qu’ils arrivent eux-mêmes à trouver des démonstrations.

Il est important de montrer que les différents chapitres ne sont pas des compartiments étanches mais qu’il existe de multiples liaisons et que de nombreux problèmes font appel à des résultats provenant de sujets étudiés précédemment.

Dans une optique d’interdisciplinarité, il est recommandé de mettre en évidence les diverses applications possibles dans d’autres domaines.

Enfin, même si l’histoire des mathématiques ne fait pas l’objet d’une étude particulière, il est bon de signaler, à mesure que l’on aborde de nouvelles notions, le contexte historique qui a mené à l’élaboration de telle ou telle nouvelle théorie, en essayant de restituer une dimension culturelle aux mathématiques trop souvent noyée dans la technicité.

Objectifs fondamentaux

ALGEBRE ELEMENTAIRE niveau I et II

L’élève doit consolider ses connaissances en algèbre et maîtriser les règles de calcul algébrique, le formalisme et les conventions d’écriture. Avec une certaine aisance, il doit parvenir à traduire des situations données dans un langage mathématique (par ex : résoudre des problèmes par équations) tout en sachant porter un jugement critique sur ses résultats. L’acquisition de notions nouvelles en analyse, sciences expérimentales et sciences humaines en sera ainsi facilitée.

ENSEMBLES niveau I et II

Le but n’est pas de faire une théorie des ensembles mais bien plutôt de présenter des notions de base dans la perspective d’une utilisation ultérieure pour exprimer des domaines de définition et surtout en probabilités. Ce chapitre permet aux élèves de travailler sans connaissances préalables.

STATISTIQUE DESCRIPTIVE niveau I et II

Tout en se familiarisant à de nouveaux symboles d’écriture (somme, indices), les élèves sont confrontés à quelques problèmes d’organisation et d’interprétation de résultats.

FONCTIONS niveau I et II

La notion de fonction est primordiale en mathématiques. Ce chapitre offre de riches possibilités d’interdisciplinarité ; Il est aussi indispensable pour établir les bases du calcul différentiel. Le concept de fonction permet de modéliser certains problèmes, d’illustrer divers phénomènes. Plusieurs fonctions élémentaires seront vues sous l’angle de l’expression fonctionnelle et du graphe.

VECTEURS niveau I et II

C’est l’occasion de donner une définition d’un être relativement abstrait. Le produit scalaire, le produit vectoriel sont encore un pas de plus dans l’abstraction. Ce chapitre fournit l’occasion de faire de petites démonstrations et de montrer la différence entre définition et propriétés.

GEOMETRIE ANALYTIQUE niveau I et II

Ce chapitre permet de développer chez l’élève une vision du plan et de l’espace. Il donne l’occasion d’établir un pont entre algèbre et géométrie, d’étudier diverses propriétés et positions relatives des figures étudiées tout en approfondissant la notion de lieu géométrique.

TRIGONOMETRIE niveau I et II

Par ses fondements, cette discipline s’apparente à la géométrie et offre de nombreuses applications pratiques qui ont l’avantage de «décloisonner» les chapitres en faisant référence à des notions vues précédemment.

CALCUL DIFFERENTIEL niveau I et II

Les notions de limite, d’infini, de continuité sont nouvelles et délicates à traiter. Il s’agit de trouver un juste milieu entre intuition et rigueur. Le concept de dérivée doit être vu sous différents éclairages notamment définition formelle et interprétation géométrique. Le moment est alors venu de faire une synthèse de ces nouvelles connaissances en les appliquant à des études de fonctions, au traitement de problèmes d’optimisation.

CALCUL INTEGRAL niveau I et II

La notion de somme de Riemann est présentée de façon intuitive. L’essentiel du calcul intégral consiste évidemment à calculer des aires après avoir établi la relation entre intégrale et primitive. Ce chapitre trouve de nombreuses applications dans d’autres disciplines.

ANALYSE COMBINATOIRE niveau I et II

Ce chapitre est relativement indépendant des précédents ; il est riche d’applications dans les problèmes de dénombrement et a un rôle formateur dans la mesure où il fait appel à un mode de pensée particulier. Par ailleurs, il est utile dans la suite, particulièrement en probabilités.

PROBABILITES niveau I et II

Après avoir distingué les notions de fréquence et de probabilité, un début de théorie mathématique sera présenté en posant un système d’axiomes suivi de démonstrations de quelques théorèmes. Au niveau II, l’étude des notions de variable aléatoire discrète, moyenne, écart-type est à mettre en parallèle avec les rudiments de statistique descriptive.

RESOLUTION DE PROBLEMES niveau I et II

L’élève est confronté à des situations problématiques dont l’énoncé n’induit ni la méthode ni la solution. En faisant appel à l’ensemble de ses connaissances mathématiques, il développe une démarche de type scientifique (essayer, conjecturer, tester, rendre compte).

NOMBRES COMPLEXES niveau II

Ce sujet abstrait permet d’élargir l’horizon des élèves en les obligeant à remettre en question le concept de la notion de nombre.

EQUATIONS DIFFERENTIELLES niveau II

Ce chapitre est riche en applications. Il offre la possibilité de se familiariser avec quelques méthodes de résolution. Il permet d’aborder, de mettre en équation et de résoudre certains problèmes rencontrés en géométrie et dans d’autres disciplines.

DETERMINANTS niveau II

Les déterminants sont vus dans l’optique de la résolution de systèmes linéaires et se révèlent utiles en géométrie analytique et en calcul matriciel.

ALGEBRE LINEAIRE niveau II

Le niveau d’abstraction de ce domaine est relativement élevé (notion de structure). Ce chapitre offre la possibilité d’édifier une théorie mathématique avec son système d’axiomes et de théorèmes. Enfin, il permet de faire appel à des notions étudiées précédemment et de procéder à d’intéressantes applications notamment en géométrie.